기존의 지수 평활법은 미래의 값이 현재처럼 "평평하게" 유지된다는 가정이 있습니다. 즉, 추세가 없고 일정한 값 주위에서 움직이는 데이터에만 적합합니다.
그러나 현실에서는 매출 증가, 사용자 수 증가, 물가 하락 등 추세가 존재하는 경우가 많습니다.
Holt의 Linear Trend 모델은 추세까지 고려한 예측 방법입니다. 두 가지 요소를 업데이트합니다:
$$ y_{t+h|t} = l_t + h b_t $$ $$ l_t = \alpha y_t + (1 - \alpha)(l_{t-1} + b_{t-1}) $$ $$ b_t = \beta (l_t - l_{t-1}) + (1 - \beta)b_{t-1} $$
여기서 \( \alpha \)는 level에 대한 반응 속도, \( \beta \)는 trend에 대한 반응 속도입니다.
\( l_t \)는 새로운 관측값 \( y_t \)와 과거 예측값 \( l_{t-1} + b_{t-1} \)의 가중 평균입니다.
\( \alpha \)가 클수록 최근 관측값에 민감하게 반응하며, 작을수록 부드럽게 반응합니다.
\( b_t \)는 현재 레벨 변화량 \( l_t - l_{t-1} \)과 과거 추세 \( b_{t-1} \)를 결합하여 추세를 업데이트합니다. 레벨이 계속 올라가면 양의 추세를 유지하게 될거고, 레벨이 줄어들게 되면 음의 추세로 바뀌게 될걸 알 수 있습니다.
Holt의 선형 모델은 추세가 계속 증가하면 예측이 무한히 발산하는 단점이 있습니다.
현실에서는 추세가 점점 약해지거나 사라지는 경우가 많습니다.
현실에서는 무한히 증가하는 추세보다는, 한동안 증가하다가 추세가 감소하는 경향을 보이는 경우가 더 많습니다 (반대로 추세가 하락하다가 점점 완만해지는 상황도 있고요).
그런 현상을 더 잘 모델링하는게 Holt's damped trend 모델입니다.
다음 수식을 따릅니다:
$$ y_{t+h|t} = l_t + (\phi + \phi^2 + \ldots + \phi^h) b_t $$ $$ l_t = \alpha y_t + (1 - \alpha)(l_{t-1} + \phi b_{t-1}) $$ $$ b_t = \beta (l_t - l_{t-1}) + (1 - \beta) \phi b_{t-1} $$
여기서 \( 0 < \phi < 1 \)이며, \( h \to \infty \)일 때 예측값은 다음으로 수렴합니다:
$$ y_{T+h|T} \to l_T + \frac{\phi b_t}{1 - \phi} $$
따라서 급등/급락 후 완만해지는 패턴에 적합하며, 신제품 초기 매출, 급등한 주식 가격 등에 유용합니다.